在若尔当的专著影响下，（C.）F.克莱因于1872年在其著名的埃尔朗根纲领中指出，几何的分类可以通过无限连续变换群来进行。克莱因和（J.-）H.庞加莱离散群或不连续群）。在1870年前后，索菲斯·李开始研究连续变换群即解析变换李群，用来阐明微分方程的解，并将它们分类。这无限变换群的理论成为导致抽象群论产生的第三个主要来源。

A.凯莱于1849年、 1854年和 1878年发表的论文中已然提到接近有限抽象群的概念。F.G.弗罗贝尼乌斯于1879年和E.内托于1882年以及W.F.A.von迪克于 1882～1883年的工作也推进了这方面认识。19世纪80年代，综合上述三个主要来源，数学家们终于成功地概括出抽象群论的公理系统，大约在1890年已得到公认。20世纪初，E.V.亨廷顿，E.H.莫尔，L.E.迪克森等都给出过抽象群的种种独立公理系统，这些公理系统和现代的定义一致。

在1896～1911年期间，W.伯恩赛德的“有限群论”先后两版，颇多增益。G.弗罗贝尼乌斯、W.伯恩赛德、I.舒尔建立起有限群的矩阵表示论后，有限群论已然形成。无限群论在20世纪初，也有专著，如1916年Ο.ю.施米特的著作。群论的发展导致20世纪30年代抽象代数学的兴起。尤其是近30年来，有限群论取得了巨大的进展，1981年初，有限单群分类问题的完全解决是一个突出的成果。与此同时，无限群论也有快速的进展。

时至今日，群的概念已经普遍地被认为是数学及其许多应用中最基本的概念之一。它不但渗透到诸如几何学、代数拓扑学、函数论、泛函分析及其他许多数学分支中而起着重要的作用，还形成了一些新学科如拓扑群、李群、代数群、算术群等，它们还具有与群结构相联系的其他结构如拓扑、解析流形、代数簇等，并在结晶学、理论物理、量子化学以至（代数）编码学、自动机理论等方面，都有重要的应用。作为推广“群”的概念的产物：半群和幺半群理论及对计算机科学和对算子理论的应用，也有很大的发展。群论的计算机方法和程序的研究，已在迅速地发展。

就科学内容而言，群论属于数学范畴，在许多数学分支中都有它的应用。它还被广泛用于物理、化学及工程科学等许多领域，尤其是物理学成为受惠最多的学科。从经典物理中对称性和守恒律的研究到量子力学中角动量理论及动力学对称性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）对称性在现代基本粒子物理中的应用等无不闪耀着群论思想的光辉。粗略地说，我们经常用群论来研究对称性，这些对称性能够反映出在某种变化下的某些变化量的性质。它也跟物理方程联系在一起。基础物理中常被提到的李群，就类似与伽罗瓦群被用来解代数方程，与微分方程的解密切相关。

在物理上，置换群是很重要的一类群。置换群包括S3群，二维旋转群，三维旋转群以及和四维时空相对应的洛仑兹群。洛仑兹群加上四维变换就构成了Poincare群。另外，晶体学中早期的关于晶体的各种结构的问题中，也是靠群论中的费得洛夫群的研究给出了答案。群论指出，空间中互不相同的晶体结构只有确定的230种。

在研究群时，使用表象而非群元是较方便的，因为群元一般来说都是抽象的事物。表象可以看成矩阵，而矩阵具有和群元相同的性质。不可约表象和单位表象是表象理论中的重要概念。

在许多研究群论的数学家眼中，也即指在抽象群论中，数学家关心的是各元素间的运算关系，也即群的结构，而不管一个群的元素的具体含义是什么。举一个具体的例子，根据凯莱定理，任何一个群都同构于由群的元素组成的置换群。于是，特别是对研究有限群来说，研究置换群就是一个重要的问题了。

设 是一个非空集合， 是它的一个二元运算，如果满足以下条件：

(1) 封闭性：若 ，则存在唯一确定的 使得 ；

(2) 结合律成立，即对 中任意元素 都有 ；

(3) 单位元存在：存在 ，对任意 ，满足 。 称为单位元，也称幺元；

(4) 逆元存在：任意 ，存在 ， （ 为单位元），则称 与 互为逆元素，简称逆元。 记作 ；

则称 对 构成一个群。

通常称 上的二元运算 为“乘法”，称 为 与 的积，并简写为 。

若群 中元素个数是有限的，则 称为有限群。否则称为无限群。有限群的元素个数称为有限群的阶。

对于 ，对于 的子集 ，定义 ，简写为 ； ，简写为 。

对于 的子集 , ，定义 ，简写为 。

对于 的子集 ，记 。

若 是群，则对于任一 ， 。

若 是群， 是 的非空子集并且 也是群，那么称 为 的子群。

这条定理可以判定 的子集是否为一个子群：

且 是 的子群

全体整数的加法构成一个群：

最常见的群之一是整数集，它由以下数组成：

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...

下列整数加法的性质，可以作为抽象的群公理的模型。

全体非零实数的乘法构成一个群

对三个互不相同的有序对象的6种不同顺序间的改变（包括不变的情况）构成一个六阶的群（这是一个有限的置换群的例子），它由此被标记为S3

群论在数学上被广泛地运用，通常以自同构群的形式体现某些结构的内部对称性。结构的内部对称性常常和一种不变式性质同时存在。如果在一类操作中存在不变式，那这些操作转换的组合和不变式统称为一个对称群。

阿贝尔群概括了另外几种抽象集合研究的结构，例如环、域、模。在代数拓扑中，群用于描述拓扑空间转换中不变的性质，例如基本群和透射群。

李群的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色，因其结合了群论和分析数学，李群能很好的描述分析数学结构中的对称性。对这类群的分析又叫调和分析。在组合数学中，交换群和群作用常用来简化在某些集合内的元素的计算。

几何晶体学的发展：

晶体点阵、点群、空间群这些概念的诞生以及他们在晶体学中的应用。这个主要发展时间是 19 世纪末，20 世纪初，代表人物是熊夫利（Schöneflies，德国犹太人）、赫尔曼（Hermann，德国人）、毛古因（Mauguin，法国人）。)

对称性与守恒量之间的关系：

代表人物是诺特（Noether，女士，德裔犹太人）。她没得诺奖，不过这个不影响她本身的伟大。诺特定理的基本内容是“any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”，也可以说是任何一个保持拉格朗日量不变的微分算符，都对应一个守恒的物理量。

包括空间平移对称性对应动量守恒、时间平移对称性对应能量守恒、旋转对称性对应角动量守恒，等等。

量子力学：

代表人物是维格纳（Wigner，匈牙利犹太人）。他也因为这方面的研究获得了1963年的诺贝尔物理奖。他的获奖原因，原话是“for his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles”。Wigner 有一本书，叫《Group theory and its applications to the quantum mechanics of atomic spectra》，1931 年写的。也就是在这个之后，在物理学问题的研究中使用对称性的知识彻底地成为了一种思维。

最具代表性的领域是理论化学，很关键的一个人物是鲍林（Pauling）。他是第一个将量子力学基本原理、分子轨道、分子设计这些概念引入到化学研究中的人。也是我们现在公认的量子化学、分子生物学的开创人。

化学领域中，比如晶体学、空间群和点群描述分子对称性和晶体对称性。这些对称性位于这些系统的化学和物理表现的底层，而群论使简化对这些性质的量子力学分析成为可能。例如，群论被用来证实在特定量子级别间不出现光学跃迁简单的因为涉及到了状态的对称性。

群不只对评定在分子中蕴含的对称性有用，而且令人惊奇的它们还可以预测出分子的对称性有时候可以改变。姜-泰勒效应是高对称的分子的变形，此时，在通过分子的对称运算相互关联的一组可能基态中，该分子将采纳一个特定的低对称的基态。同样的，群论还可以帮助预测在物质经历相变的时候出现的物理性质的变更，比如晶体形式从立方体变为四面体。一个例子是铁电物质，这里从顺电到铁电状态的变更出现在居里温度时，与从高对称顺电状态到低对称铁电状态的变更有关，并伴随着所谓的软声子模式，它是在变化时转到零频率的振动晶格模式。